أنواع المثلثات
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لاطوال اضلاعها كما يلي:

مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث أضلاعه متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الاضلاع متساوية أيضا، وقيمتها 60 درجة.
مثلث متساوي الضلعين: هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.
مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.




متساوي الاضلاع متساوي الساقين مختلف الاضلاع

كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:

مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة واصغر من 180 درجة(زاوية منفرجه)
مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).




قائم منفرج حاد




[عدل] حقائق عن المثلثات
[عدل] تشابه مثلثين
يقال عن مثلثين انهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره أو تصغيره. ان اطوال اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه إذا كان طول أقصر اضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي لضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني.وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~) يتشابه مثلثان إذا تطابقتزواياهما المتناظرة ___ إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتان في مثلث اخر كان المثلثان متشابهين.

[عدل] نظرية فيثاغورس
واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على انه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي إلى مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، اي:

د َ2 = ب َ2 + ج َ2

مما يعني ان معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كاف لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل اي مثلث عبر قانون جيب التمام : حيث :

طول الضلع مربع = مضروب طول الضلعين المجاوره مربعه - 2 * طول الضلعين المجاورين جتا "الزاية المحصورة بينهما"

|د|^2 = |ب|^2 + |ج|^2 - 2 |ب| |ج| جتادْ

و هو صحيح من اجل كل المثلثات حتى ولو لم تكن د قائمة.

سؤال:هل تبقى النظرية صحيحة في حالة ان تكون الاشكال المقامة مضلعات منتظمة أخرى مثل مضلع ثلاثي:أو خماسي أو سداسي،...الخ ماهو تعريف علم المثلثات

[عدل] مساحة المثلث
تعطى مساحة المثلث بالقانون التالي:

المساحة = ق × ع / 2

or:area=1\2*H*B
حيث ان ق هي طول إحدى اضلاع المثلث (القاعدة)، وهو طول العمود النازل على هذا الضلع من الرأس المقابل له (الارتفاع).

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:


يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.


مثلث أحد الأشكالِ الأساسيةِ في هندسة: شكل ثنائي الأبعاد بثلاثة قِمَم وثلاثة جوانبِ بشكل خطوط مستقيمة. عرف المثلثات

[عدل] أنواع المثلثاتِ
المثلثات يُمْكِنُ أَنْ تُصنّفَ طبقاً للأطوالِ النسبيةِ مِنْ جوانبِها:

في مثلث متساوي الأضلاع كُلّ الجوانب ذات طولِ متساو. مثلث متساوي الأضلاع أيضاً متساوي الزوايا ، أي أن كل زاوية هي 60 درجة؛ * في مثلث متطابق الضلعين جانبان متساويان في الطول. مثلث متساوي الساقين لَهُ زاويتان داخليتانُ متساويتانُ أيضاً.
في مثلث مختلف الأضلاع كُلّ الجوانب لَها أطوالُ مختلفةُ. إنّ الزوايا الداخليةَ في مثلث مختلف الزوايا هي مختلفة أيضا.
المثلثات يُمْكِنُ أيضاً أَنْ تُصنّفَ طبقاً لحجمِ زاويتِهم الداخليةِ الأكبرِ، وَصفَ تحت استعمال درجة مِنْ القوسِ.

أي مثلث قائم (أَو مثلث قائم الزاوية ) عِنْدَهُ 90 واحد &deg؛ الزاوية الداخلية (a زاوية قائمة). الجانب قبالة الزاوية القائمة وتر زاوية قائمة ؛ هو الجانبُ الأطولُ في المثلث القائمِ. إنّ الجانبانَ الآخرَ سيقان المثلثِ.
مثلث منفرج عِنْدَهُ زاويةُ داخليةُ واحدة أكبرُ مِنْ 90 &deg؛ (زاوية منفرجة).
مثلث حادّ عِنْدَهُ زوايا داخليةُ التي جميعاً أصغر مِنْ 90 &deg؛ (ثلاثة زاوية حادة).
المثلث القائم متساوي الساقين هو مثلث ضلعاه القائمان متساويان

[عدل] نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث
الموسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد اضلاع المثلث في منتصفه ويكون عموديّا عليه وتتلاقى الوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاث ويكون تقاطع موسطين عموديين فقط كافيا لمعرفة مركز هذه الدائرة.




الدائرة المحيطة لمثلث يمرّ من رؤوس المثلث الثلاثتقول مبرهنة طالس انّه إذا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث توجد على ضلع من أضلاع المثلث فانّ الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.

نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم.

الارتفاع هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث وتكون عمودية غلى الضلع المقابل. ويمثل الارتفاع البعد بين الراس والضلغ المقابل كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم.

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

منصف الزاوية هو مستقيم يمرّ من راس من رؤوس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمسّ اضلاع المثلث الثلاث.
الموسّط هو قطعة مستقيم تنطلق من رأس من رؤوس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل وتتقاطع الموسطات الثلاث في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث ويكون تقاطع موسطين فقط كافيا لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين راس المثلث ومركز الثقل مساويا ل 2/3 الموسط الصادر من ذلك الراس.

الوسطات ومركز الثقل.منتصفات الاضلاع الثلاث ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع المقابل له موجودة كلها على نفس المثلث دائرة النقاط التسع للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين راس المثلث والمركز القائم وشعاع دائرة النقاط التسع هي نصف شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث.

تسع نقاط من هذه الدائرة موجودة على المثلث.[عدل] حساب مساحة المثلث
أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي


حيث S هي المساحة وbهي طول قاعدة المثلث وhهو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل ايّ ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو المستقيم الصادر من الراس المقابل للضلع والعموديّ عليه.